2012北京卷高考数学(文科)试题+答案

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2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1、已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=（D）A（-，-1）B（-1，-23）C（-23,3）D(3,+)2在复平面内，复数103ii对应的点的坐标为（　A）A(1,3)B(3,1)C(-1,3)D(3,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（　D）（A）4（B）22（C）6（D）44（4）执行如图所示的程序框图，输出S值为（　C）（A）2　（B）4　　（C）8　　（D）16(5)函数f（x）＝x121x2的零点个数为（　B）（A）0（B）1（C）2（D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（　B）（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　B）（A）28+65（B）30+65（C）56+125（D）60+125（8）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（　C）（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________。22（10）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=____________，Sn=_________________。22111,.44naSnn（11）在△ABC中，若a=3，3,,___3bAC则090（12）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=_____________。2（13）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________，DEDC的最大值是＿＿＿＿＿_。1,1(14)已知f（x）=m（x-2m）（x＋m＋3），22xgx。若xR，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是_________。4,0三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数sincossin2sinxxxfxx。（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间。sincossin2sincos2sincos1sinsinsin2cos212sin21,.43222224237,.88xxxxxxxfxxxxxxTkxkkxkkZ单调减区间为：（16）（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由。1111111111111111,2DEADCDEAFAFCDAFBCDEAFBE3QAB2DEADCDEACACPDPQPPQACPDACACPQDACPQACDEACPQEDEBC由可得可先证：平面，平面，，为的中点，又知，平面，，取的中点，连结和，易证，，平面，，又，平面。17（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c其中a＞0，a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时，写出a,b,c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。（注：其中x为数据x1,x2…，xn的平均数）400831,23.600,08450910,ppabc，方差为万。（18）（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.（I）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求,a,b的值；（II）当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。//32/212111123,113,2391,36903,1,,31,3,1F32823,fgabfgcabFxfxgxxxxFxxxxxx和为单调增区间，为单调减区间。－＝为极大值。如果区间k，包含极大值点则k-3.19(本小题共14分)已知椭圆C：22xa+22yb=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为22，直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）当△AMN的面积为103时，求k的值222222222222222212122221212121222212,,2,2,1.24212214240.24424,,44212402121111422246101.2213AMNcxyaecbacaykxkxkxkxykkxxxxkkkkkkSyykxkxxxxxkkkk(20)（本小题共13分）设A是如下形式的2行3列的数表，abcdEf满足性质P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。（I）对如下数表A，求k（A）的值（II）设数表A形如其中-1≤d≤0.求k（A）的最大值；（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k(A)的最大值1212311.2,1.2,1.1,0.7,1.80.7.2min1,21,12,12,10,11,121,21220,1,120,1,min22,12,11220,112120,1,1211mi2rArAcAcAcAkAkAddddddddddkAdddddddkA当－时，，＝－－且两者不同时为，当－时，n22,121,10220,112120,1,2022121min22,121,32A1A1,A,21,A1dddddddddkAddkAkAxkAxxx当－时，，＝＋且当时，＝＝，的最大值为由知，存在一个数表，使，假设存在一个数表，使由的定义知，中每一列两个数之和的绝对值都在区间中，中每一列的两个数都与列的和的符号相同。且均不小于x-1,(否则2x1AAAA1211,133AxxrxxxkAkAx2),设中有g列的和为正，有h列的和为负，由对称性知，不妨设gh,则g1,h2.又由对称性不妨设中第一行的和为正，这样考虑中的第一对行：由前知中的第一行有不超过个正数，和不小于个负数，每个正数的绝对值不超过，每个负数的绝对值不小于x-1,即每个负数均不超过1+2=x+x.即中的第一行的和的绝对值小于，与假设及的定义矛盾。的最1大值为。